Algorytm dla biegłych w matematyce, dla pozostałych gotowe wyliczenia

Ile zgromadzisz na starość

Proponujemy formułę matematyczną służącą do obliczania kapitału gromadzonego w funduszu emerytalnym (OFE). Jest ona zgodna z regułami obowiązującymi w matematyce finansowej oraz wymogami ustawy emerytalnej.

Obecni i przyszli członkowie OFE chętnie studiują symulacje przedstawiające wartość przyszłej emerytury. Są one udostępniane przez akwizytorów funduszy, publikowane w prasie, zamieszczane w Internecie. Ich zasadniczym mankamentem jest brak lub znaczne uproszczenie przyjętych kryteriów i założeń, co ma istotny wpływ na jakość uzyskiwanych wyników. Nikt też nie podaje algorytmu, formuły matematycznej wykorzystanej w symulacji.

Tymczasem bardziej biegli w matematyce uczestnicy funduszy emerytalnych mogliby - znając formułę matematyczną - samodzielnie wykonać obliczenia uwzględniając swoją sytuację (np. wysokość dochodów) i mieliby możliwość porównania oferty różnych towarzystw emerytalnych.

Przy konstruowaniu formuły matematycznej posłużyliśmy się programem Math CAD-7 Professional. Formuła wygląda następująco:

A oto przyjęte założenia:

- n - okres uczestnictwa w OFE, od roku do 35 lat;

- a - realna roczna stopa zwrotu (średnia osiągana przez OFE) w proc.; jest ona wyliczona z uwzględnieniem dodatkowych opłat pobieranych z aktywów;

- b - stały realny wzrost wynagrodzenia w skali roku, w proc.;

- c - prowizja od składki miesięcznej pobierana przez OFE, w proc.;

- P - miesięczne zarobki brutto uczestnika OFE na starcie, w zł;

- K - kapitał zgromadzony w funduszu, w zł;

- Kn - kapitał po n-latach uczestnictwa w OFE;

- składka miesięczna odprowadzana do funduszu stanowi 7,3 proc. płacy brutto uczestnika OFE;

- dodatkowe opłaty finansowane bezpośrednio z aktywów OFE:

- opłata za zarządzanie (maks. 0,05 proc. miesięcznie aktywów netto funduszu);

- prowizje maklerskie;

- koszty banku depozytariusza, skalkulowano je w ujęciu rocznym na poziomie stopy zwrotu netto osiąganej przez OFE.

Wszystkie te opłaty powinny znajdować się w prospektach informacyjnych OFE. Jednak uwzględnienie ich w obliczeniach może okazać się kłopotliwe, ponieważ niektóre opłaty zmieniają się w czasie i trudno je oszacować w skali roku. Dlatego proponujemy skalkulowanie ich na poziomie do 1 proc. rocznie - o tyle pomniejszymy roczną stopę zwrotu osiągniętą przez fundusz.

- W celu osiągnięcia czytelności otrzymanych wyników przyjęliśmy, że współczynniki a, b, c i P mają przez cały okres stałe wartości. W praktyce wielkości te mogą niekiedy znacznie zmieniać się w zależności od koniunktury na rynku oraz strategii inwestycyjnej OFE.

Wykorzystując zaproponowaną formułę matematyczną dokonaliśmy obliczeń kapitału zgromadzonego w OFE w zależności od okresu uczestnictwa w funduszu oraz od:

- przyjętej stopy zwrotu;

- realnego wzrostu wynagrodzenia;

- wysokości zarobków miesięcznych brutto na starcie;

Wyniki naszych obliczeń prezentujemy w formie wykresów i tabel. Oczywiście, każdy może wykorzystać w obliczeniach własne założenia odpowiadające jego sytuacji.

Na podstawie wykresów można stwierdzić, że duży wpływ na wartość kapitału emerytalnego ma stopa zwrotu osiągana przez OFE. Przykładowo: wzrost tego wskaźnika z 4 proc. do 6 proc. powoduje, że po 20 latach uczestnictwa w OFE kapitał emerytalny jest wyższy o 24,4 proc. Natomiast spadek wskaźnika z 4 proc. do 2 proc. rocznie oznacza spadek wartości kapitału w tym samym okresie o 23,4 proc.

Również wysokość zarobków brutto na starcie uczestnictwa w OFE, a co za tym idzie wysokość składki miesięcznej odprowadzanej do funduszu, ma istotne znaczenie dla wartości zgromadzonego kapitału. Jeśli zarobki zwiększą się z 1500 zł do 2000 zł, to po 20 latach kapitał wzrośnie o 33,3 proc. Realny wzrost wynagrodzenia w skali roku jest już mniej istotny. Jeśli wynagrodzenie wzrośnie z 1 proc. do 2 proc., to po 20 latach uczestnictwa w OFE kapitał będzie większy o 8,9 proc. Zbadaliśmy również znaczenie prowizji od składki pobieranej przez OFE. Okazało się, że jest stosunkowo niewielkie. Większość towarzystw emerytalnych ustaliła wysokość prowizji w pierwszych latach uczestnictwa w funduszu w przedziale od 7 do 10 proc. Zmiana tej opłaty z 8,5 proc. na 10 proc. powoduje po 20 latach spadek wartości kapitału o 1,67 proc. Dopiero różnice w opłatach rzędu 4-5 proc. mają poważniejszy wpływ na wysokość kapitału.

Gdy uczestnik OFE osiągnie wiek emerytalny, zgromadzony kapitał zostanie przekazany do zakładu emerytalnego, który dalej będzie pomnażał kapitał i za prowizję (zgodnie z projektem ustawy - do 7 proc. wartości kapitału) będzie wypłacał miesięczną emeryturę. Zostanie ona obliczona poprzez podzielenie wartości kapitału przez spodziewany okres dalszego życia (jest to wielkość statystyczna, która prawdopodobnie będzie rosnąć).

Na obecnym etapie (m. in. z powodu braku doświadczeń, czy choćby dokładnej wysokości prowizji pobieranej przez zakład emerytalny) rozsądniejsze jest posługiwanie się wartością kapitału emerytalnego niż wysokością miesięcznej emerytury wypłacanej przez zakład.

Jerzy Gremba

Autor jest analitykiem inwestycyjnym w Domu Ubezpieczeń Życiowych i Majątkowych Egida w Poznaniu.

Założenia przyjęte w wyliczeniach (oprócz wymienionych na wykresach i w tabelach):

realny wzrost wynagrodzenia w skali roku - 2 proc.; prowizja od składki miesięcznej - 8,5 proc.; miesięczne zarobki brutto na starcie - 1500 zł; realna stopa zwrotu z inwestycji w skali roku - 4 proc.